요약:
2026년 필즈상 수상자 왕홍(Wang Hong)이 3차원 카케타니 집합 추측을 증명해 수학 부문 최고 영예를 안았습니다. 한 세기에 걸쳐 이어진 이 기하학 문제는 그녀의 손에서 2차원에서 3차원으로의 역사적인 도약을 이루었고, 지난 10년 동안 가장 중요한 수학적 돌파구가 되었습니다.
불과 3개월 후, OpenAI는 이 연구를 크게 발전시켰습니다. 더 어려운 3차원 Kakeya 최대 함수 추측을 풀었을 뿐만 아니라 4차원 Kakeya 집합의 하우스도르프 차원이 4와 동일하다는 것을 처음으로 증명하여 3.059차원에 갇힌 인간의 이전 최고 기록을 한 차원 위로 밀어 이론적 상한에 도달했습니다.
그러나 이는 수학 세계에 대한 OpenAI의 도전에서 빙산의 일각에 불과합니다.
이번 OpenAI는 준리만 가설, 힐베르트의 10번째 문제, 카탈로니아 상수 관련 문제 및 수년 동안 학계를 괴롭혀온 수십 가지 기타 고전적인 문제를 포함하여 Kakeya 문제를 훨씬 넘어서는 영역을 다루는 372개의 결과 계열로 분류된 722개의 수학 원고를 한 번에 출시했습니다. 모든 내용은 이름조차 지정되지 않은 내부 모델에서 파생됩니다. 각 문제는 평균 3시간 정도 소요됩니다.
OpenAI는 이 원고를 GitHub에 게시했고 온라인에 접속한 지 24시간 이내에 별 10,000개를 받았습니다.
인간 수학 협회는 "수학자들은 OpenAI에게 이 작업을 요청하지 않았습니다"라고 말했습니다. 그는 또한 이러한 원고는 검증이 부족했으며 OpenAI의 또 다른 "성능 마케팅"에 불과하다고 말했습니다.
원고번호 074는 정확히 무엇인가요?
가케야 문제의 기원은 1917년 일본 수학자 가케타니 소이치가 제기한 질문에서 비롯됩니다. 얇은 바늘이 있고 이를 평평한 표면에 놓고 한 원을 그리며 회전한다고 가정합니다(또는 모든 방향을 가리키도록 합니다). 바늘이 쓸 수 있는 가장 작은 면적은 얼마입니까?
직관적으로 바늘은 길이가 있어서 한번 회전하면 원반을 쓸어내야 하는 거겠죠?
그렇지 않습니다. 나중에 수학자 베시코비치(Besikovich)는 회전 방법이 충분히 "스마트"하다면 바늘이 쓸어내는 영역이 임의로 작을 수 있으며 심지어 사용자가 지정한 양수보다 더 작을 수도 있음을 증명했습니다.
이를 바탕으로 수학자들은 각 방향의 선분을 여전히 포함하는 '제로 영역'을 갖는 세트를 구성했습니다. 이러한 유형의 세트를 "베시코비치 세트" 또는 "카케타니 세트"라고 합니다.
영역이 0만큼 작을 수 있으니 이 문제는 끝나지 않나요? 하지만 아닙니다.
'영역이 0'이라는 것은 이 세트가 두께도 없고 공간도 차지하지 않는다는 것을 의미할 뿐, 그것이 얼마나 '복잡하다'는 것을 표현할 수는 없기 때문입니다.
선과 선으로 이루어진 공의 수학적 면적은 둘 다 0일 수 있지만 분명히 둘은 같은 것이 아닙니다.
그래서 수학자들은 생각을 바꾸었습니다. 이 집합은 면적은 없지만 선과 같은 것인지, 면과 같은 것인지, 아니면 입체에 가까운 것인지? 그래서 "차원"이 있습니다.
선은 1차원, 종이는 2차원, 상자는 3차원입니다. 그러나 특히 "희소한" 세트의 경우 차원은 2.5 차원과 같은 소수일 수도 있습니다.
'하우스도르프 차원'은 가장 일반적으로 사용되는 자 중 하나입니다. 그 논리는 세트를 커버하기 위해 매우 작은 공을 사용하는 것입니다. 공은 몇 개 필요합니까? 구의 반경이 절반으로 줄어들고 필요한 구의 수가 두 배가 되면 세트는 선처럼 1차원이 됩니다. 4배로 늘어나면 평면처럼 2차원이 됩니다. 8배이면 단단한 몸체처럼 입체적이다. 그 사이에는 십진수 차원이 있습니다.
2차원 평면에서 수학자들은 모든 방향의 선분을 포함하는 모든 집합의 면적이 0이더라도 2차원을 가져야 한다는 것을 이미 1971년에 증명했습니다.
3차원 공간은 어떻습니까? 4차원은 어떻습니까? 더 높은 차원은 어떻습니까? 수학자들은 다음과 같이 추측합니다. n차원 공간에서 집합이 모든 방향에서 단위 길이의 선분을 포함하는 한 집합의 부피가 0이더라도 Hausdorff 차원은 n과 같아야 합니다. 이것이 유명한 "Kakeya 집합 추측"입니다.
2026년 왕홍은 필즈상을 수상했습니다. 수상의 공식적인 이유는 푸리에 극한 문제와 3차원 카케야 문제에 대한 그녀의 상당한 진전이었습니다. 그 중 가장 핵심적이고 잘 알려진 것이 앞서 언급한 3차원 카케야 집합 추측이다.
이번 OpenAI가 해결한 두 가지 문제는 왕홍의 '전력 강화 버전'이다.
첫 번째는 3차원 Kakeya 최대함수 추측입니다.
이름의 '최대값'은 '최대값을 선택하는' 관행을 의미합니다.
우주에 밀도가 고르지 않은 안개가 있다고 가정해 보겠습니다. 얇은 빨대를 가져다가 다양한 위치에서 빨아들입니다. 빨대에 포함된 미스트의 평균 농도는 다릅니다.
이 방향으로 가능한 모든 보간법을 시도하고 농도가 가장 높은 보간법만 기록하세요. 이 "가장 높은 값"은 이 방향의 "최대 값"입니다.
다시 방향을 바꾸고, 같은 일을 반복하고, 또 다른 '가장 높은 값'을 얻습니다. 모든 방향에서 가장 높은 값을 모아 '방향과 가장 높은 값'의 대응관계를 구한다. 수학자들은 이를 "Kakeya 최대함수"라고 부릅니다.
두 번째는 4차원 하우스도르프 차원 추측, 즉 앞선 결론을 3차원에서 4차원으로 옮기는 것입니다.
4차원 공간에 설정된 카케야의 차원은 4가 되어야 한다. 현재 4차원에서 인간이 얻을 수 있는 가장 좋은 결과는 2021년 '플레인브러시' 시연을 사용해 얻은 3.059이다. 즉, 최소 3.059차원이라는 것만 증명할 수 있다. 3.059에서 4로 이는 한 차원이 직접적으로 증가하는 것과 같습니다.
2차원에서 3차원으로, 문제의 난이도는 거의 '질적 변화'에 가깝다. 3차원에서 4차원으로의 변화는 질적인 변화이기도 하다. 차원이 높을수록 "튜브"가 교차하고 쌓일 수 있는 방법이 많아지고 수학자들이 처리해야 하는 기하학적 상황이 더 복잡해지기 때문입니다.
따라서 수학자들이 스스로 이 두 가지 추측을 완성하려면 적어도 몇 년은 걸릴 것입니다.
그러나 OpenAI 자체 성명에 따르면 전체 프로세스는 매우 "간단"합니다.
미공개 내부 모델과 프롬프트 단어를 사용하고 에이전트가 실행하도록 하세요. 평균적으로 각 결과는 약 3시간의 ChatGPT Pro 사고력만 소모합니다.
전체 평가 과정에서 약 4,000개의 질문이 모델에 던져졌습니다. 병합 및 심사를 거쳐 현재 722개의 원고가 남았다.
OpenAI가 필즈메달을 넘어섰다?
빨대가 많이 쌓이지 않으면 빨대가 차지하는 전체 면적은 자연히 미미해집니다. 따라서 일단 최대함수 추측이 성립되면, 설정된 버전의 추측을 직접 도출할 수 있다.
이 때문에 일부 네티즌들은 AI가 필즈상을 통과하는 데 불과 3시간밖에 걸리지 않았다고 말했다. 그러나 이는 사실 일종의 편견이다. 필즈상을 무시할 뿐만 아니라 왕홍의 연구 결과도 이해하지 못한다.
OpenAI의 주장은 처음부터 시작되지 않기 때문입니다. 074번 결과군은 왕홍의 연구 결과를 바탕으로 한 것이며 허공에서 나온 것이 아니라는 점을 분명히 밝혔습니다.
이는 수학 연구의 규범에도 부합합니다. 인류 역사상 거의 모든 주요 혁신은 전임자들의 어깨 위에 있으며, 왕홍의 증명 자체도 "끈적끈적한 카케야 세트"에 대한 그녀의 이전 작업과 지난 30년 동안 많은 수학자들의 결과를 기반으로 합니다.
더욱 우연의 일치는 이미 2025년 3월 MIT 수학자 래리 구스(Larry Guth)가 인터뷰에서 2차원에서 3차원으로 가는 것이 가장 어려운 단계라고 예측했고, 왕홍의 증명은 변형되어 고차원 문제에 사용될 가능성이 높다는 점입니다.
그래서 OpenAI의 4차원 결론이 사실이라면 어떤 의미에서는 당시 수학자의 판단도 검증하는 셈이 됩니다.
'필즈상 이상'이라는 문구를 어떻게 이해해야 하나요?
첫째, 필즈상은 단지 단일 논문이 아닌 전반적인 기여에 대해 수학자에게 상을 수여합니다. 단지 왕홍에게 수여된 필즈상에서 3차원 카케타니 집합 추측이 바로 핵심 결과일 뿐입니다.
둘째, OpenAI의 원고 074번이 정말로 사실이라면, 수학적 '난이도'의 단일 차원 측면에서 왕홍이 상을 받은 문제보다 실제로 더 어렵습니다. 3차원 최대 함수 버전에는 집합 버전이 포함되어 있고, 4차원 하우스도르프 차원 문제는 이전에 해결된 적이 없는 3차원 이후 인류의 또 다른 목표이기 때문입니다.
하지만 이 문장에는 핵심 단어가 있는데, 바로 "if"입니다.
원고 번호 074는 현재 Lean에 대한 공식적인 증거가 없으며 동료 검토도 받지 않았습니다. 검증되기 전까지는 “증명된 더 어려운 문제”라기보다는 “더 어려운 문제를 해결하겠다고 주장하는 논문”일 뿐입니다. 수학의 역사에는 발표되었다가 철회된 '증명'이 많이 있습니다.
현재 우리는 여전히 'if'라는 단어에 갇혀 있습니다.
왕홍(Wang Hong)의 필즈상(Fields Medal)은 전체 학계의 수개월 간의 테스트와 검토를 거쳐 이제 이 분야의 초석이 되었습니다. OpenAI 원고가 궁극적으로 확립되었는지 여부에 관계없이 그 출발점은 이 초석과 불가분의 관계에 있습니다.
인증이 가장 어렵다
가장 어려운 점은 검증입니다. 수학의 검증 과정은 전체 수학 연구 중 가장 노동집약적인 측면 중 하나입니다.
왕홍을 예로 들어보겠습니다.
2025년 2월, 그녀는 학술 예판 웹사이트 arXiv에 약 127페이지 분량의 3차원 카케야 집합 추측의 증거를 게시했습니다.
논문이 발표된 후에는 즉시 '정확하다'고 인정되지 않습니다. 본 논문은 저자의 반복적인 자기 검토와 Terence Tao와 같은 유명 학자들의 오랜 분석을 거쳤습니다. Quanta 잡지는 이를 "100년에 한 번 있는" 증거라고 불렀습니다.
검증 작업은 2025년 2월부터 2026년 7월 필즈상 발표까지 약 1년 반이 걸렸습니다. 오늘날에도 많은 수학자들은 이 증명 세트의 새로운 아이디어를 완전히 흡수하고 소화하지 못했습니다.
이는 최고의 인간 수학자가 작성한 100페이지가 넘는 증명이 널리 인정되기까지 1년 이상 집단적 검토를 거쳐야 함을 의미합니다.
이제 한꺼번에 722개의 기사가 왔습니다.
그뿐만 아니라 OpenAI가 공개한 722개의 원고 중 다수는 수백 페이지에 달하는 긴 논증입니다. 각 기사를 전문가가 몇 달 동안 읽어야 한다면 기사 중 하나를 이해할 수 있는 전문가는 전 세계에 수십 명에 불과하거나 그보다 더 적을 수도 있습니다.
게다가 이들 전문가들은 각자 자신의 연구를 갖고 있으며 OpenAI의 '리뷰어 역할'을 위해 모든 작업을 내려놓는 것은 불가능합니다.
더 문제가 되는 것은 OpenAI 대변인이 위에서 언급한 원고 번호 074를 포함하여 OpenAI 자체 수학자들이 이러한 결과 중 많은 부분을 완전히 이해하지 못했다는 점을 인정했다는 것입니다.
그래서 수학계의 반응은 더욱 회의적입니다.
이런 종류의 걱정은 오늘날에도 새로운 것이 아닙니다.
2026년 9월 8일, OpenAI는 내부 모델이 Navier-Stokes 방정식의 밀레니엄 문제를 해결했다고 발표했습니다. 병렬 계산에는 약 10,000개의 에이전트가 사용되었다고 합니다.
그러나 브라운 대학의 수학자 고메즈-세라노(Gómez-Serrano)는 하버드 강의에서 관련 166페이지 분량의 증명이 "이해할 수 없다"고 언급했습니다.
9월 11일, 테렌스 테루(Terence Teru) 등을 포함한 25명의 필즈상 수상자들은 공동으로 "수학 분야 인공지능의 심각한 오역"이라는 공개 성명을 발표하여 AI 기업들이 모델 역량을 입증하기 위한 마케팅 도구로 "유명한 문제 극복"을 사용하고 이를 성급하게 출시하고 있다고 비판했습니다. 이는 수학의 발전을 촉진하지 못했을 뿐만 아니라 수학계에 부정적인 영향을 미쳤다.
오픈AI는 지난 9월 21일 수학자들로 구성된 독립적인 자문그룹(AGMAI, 프린스턴 고등연구소 산하) 설립을 발표했다. 자문단은 지난 9월 29일 AI가 생성한 수학적 결과를 공개할 때 사용된 모델, 구체적인 프롬프트 단어, 계산 시간도 공개할 것이라고 밝혔습니다.
그러나 이번에 OpenAI가 공개한 원고 722개 중 '평균 계산 시간' 등 전체적인 수치만 발표됐다. 즉각적인 말은 발표되지 않았고 모델도 공개되지 않았습니다.
MIT 수학자 Andrew Sutherland는 "모든 사람이 재현할 수 있도록 모델을 게시하지 않는 한 단일 에이전트가 단일 프롬프트로 문제를 해결할 수 있다는 생각은 입증되지 않은 것으로 간주되어야 합니다. 우리는 '영수증'을 보여달라고 요구해야 합니다."
이러한 722개의 원고는 모두 '가짜 뉴스'라는 의미입니다.
10월 7일 서두에 언급한 인문수학협회는 “700여 건이 넘는 문서를 한꺼번에 공개하는 것은 학문이 아니라 일종의 힘을 보여주는 것”이라고 믿었다. 이후 협회는 수학자들에게 OpenAI와의 협력을 중단할 것을 촉구했습니다.
물론 또 다른 목소리도 있습니다. 토론토 대학의 다니엘 리트(Daniel Litt)는 "이러한 수학적 문제에 대한 답을 알고 싶다면 회사에 이를 숨기라고 요청할 이유가 없습니다. 이는 수학에 좋은 일입니다."라고 말했습니다.
수학자들은 이 722개의 원고를 단시간에 검증할 수 없기 때문에 린(Lean)을 통해 검증하기를 희망하고 있습니다.
Lean은 '증명 보조자'이자 프로그래밍 언어입니다. 수학자들은 증명의 각 단계를 Lean이 이해할 수 있는 엄격한 언어로 번역해야 합니다. 그런 다음 린 시스템이 이를 단계별로 확인합니다. 어떤 단계라도 모호하거나 건너뛰면 실패합니다. 일단 통과되면 증명은 논리적으로 오류가 거의 확실합니다.
공개 카탈로그에 따르면 722개의 원고에 병합된 372개의 결과 계열 중 235개가 Lean 공식 설명을 갖고 있으며 이는 약 63%를 차지합니다.
그러나 린은 전능하지 않습니다. 수학자 Gil Kalai는 Lean의 검증에도 문제가 있을 수 있다고 말했습니다. 예를 들어 수학 문제를 린(Lean) 언어로 번역할 때 번역 자체에 편차가 있고 기계 검증을 통과하면 원래의 문제가 아닐 수도 있다. 또한, 린은 "논리적으로 불합리하다"는 것만 확인할 수 있을 뿐, 그 결과가 참신한지, 가치 있는 것인지 판단할 수는 없다.
따라서 린이 정형화하지 않은 원고 074호는 수학자에 의해서만 검증될 수 있다.
원고 074호가 마침내 정확한 것으로 입증된다면 이는 수학사에 획기적인 사건이 될 것입니다.
카케야 문제를 3차원으로 발전시키는 데 100년 이상이 걸렸지만 AI는 단 3시간 만에 몇 단계 발전했습니다.
마찬가지로 원고 074호가 실제로는 틀렸다는 사실이 결국 밝혀질 수도 있다.
최종 분석에서는 인간이 단기간에 검증할 수 없는 '증거'를 증명이라고 해야 할까요? 이것이 수학계에 남겨진 진짜 수수께끼이다.
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